পোস্টটি পড়া হয়েছে 1,150 বার
Data Structure in Bengali

ট্রি ডেটা স্ট্রাকচার – ৭ [Checking: Is it a BST or Not?]

বাইনারি সার্চ ট্রি – BST এর ব্যাসিক অপারেশনগুলো নিয়ে এর আগে বিস্তারিত আলোচনা হয়েছে। আজকে আলোচনা করব BST related খুব কমন একটা ইন্টারভিউ প্রশ্ন নিয়ে। সেটা হচ্ছে একটা বাইনারি ট্রি বাইনারি সার্চ ট্রি কিনা তা চেক করতে হবে।

বাইনারি সার্চ ট্রি

উপরের ছবিটা একটা BST. নিচের ছবিটাও কি BST? নিচের ছবিতে root 47 এর right child এর মান বসানো হয়েছে 62. বাইনারি সার্চ ট্রি এর সংজ্ঞা থেকে আমরা জানি যে এর যে কোনো নোডের left subtree হবে ঐ নোডের মানের চেয়ে ছোট বা সমান আর right subtree হবে ঐ নোডের মানের চেয়ে বড়।
কোড করা ছাড়া তুমিই বল একটা বাইনারি ট্রিকে কোন কোন লজিকের ভিত্তিতে বাইনারি সার্চ ট্রি বলতে পারব?

একটা সমাধান মাথায় আসতে পারে প্রথমেই। প্রতিটা নোডের left child হবে ছোট বা সমান আর right child হবে বড়। তাহলে পুরো ট্রি এর মধ্যে একটা রিকার্সিভ ফাংশন কল করে সহজেই এই চেকটা করতে পারি। যেই নোডেই ট্রাভার্স করব, চেক করব যে তার বামের চাইল্ড ছোট বা সমান কিনা আর ডানের চাইল্ড বড় কিনা। সবগুলো নোডের ক্ষেত্রে এই শর্ত দুটি পূরণ করলে তাকে আমরা BST বলব। তাহলে চলো দেখি এই লজিকটা দ্বিতীয় ছবির ক্ষেত্রে কাজ করে কিনা।

Is it a Binary Search Tree – BST?

প্রথমে 47 থেকে শুরু করি। এর left child হচ্ছে 40 আর right child 62. তার মানে রুটের জন্য শর্ত দুটি ঠিক আছে। এরপর 40 এর left ও right child যথাক্রমে 38 ও 43. তার মানে 40 ও আমাদের শর্ত পূরণ করেছে। এভাবে করে তুমি ট্রি এর বাকি নোডগুলো চেক করো। দেখবে সবগুলো নোডের left child ঐ নোডের মানের চেয়ে ছোট বা সমান এবং right child এর মান বড়। অতএব তুমি জাতির উদ্দেশ্যে ঘোষণা দিয়ে দিলে যে “৪২০ ধারা মোতাবেক সন্দেহাতীত ভাবে প্রমাণিত হইয়াছে যে, ইহা একটা বিএসটি!” রায় ঘোষণার পরে দেখলা শাহবাগ মোড়ে প্রোগ্রামাররা জটলা পাকাচ্ছে। তোমার চামড়া-টামড়া তুলে নেয়া সংক্রান্ত টুকটাক স্লোগান দেয়া হচ্ছে। ব্যাপারটা তাহলে কী ঘটল? এই লজিক কি ঠিক নাই? তাহলে আসো আবার একটু দেখি গ্যাঞ্জামটা কোথায়।

সংজ্ঞায় বলা ছিল প্রতিটা নোডের left subtree হবে ছোট বা সমান আর right subtree হবে বড়। কিন্তু শর্টকাট মারতে গিয়ে আমরা left subtree এর জায়গায় চেক করেছি left child. এতে সমস্যা কী? দেখো 62 নোডের left ও right child এর মান ঠিকঠাকই আছে। 70 এর left এ তার চেয়ে ছোট মান আছে 59। কিন্তু এই 59 আবার 62 এর চেয়ে ছোট। 62 এর right subtree এর প্রতিটা মান হতে হবে 62 এর চেয়ে বড়। কিন্তু এখানে পাওয়া যাচ্ছে ছোট। তাহলে তো এটা BST এর সংজ্ঞা অনুযায়ী হল না। যেহেতু 62 এর right subtree এর প্রতিটা নোডের মান 62 এর চেয়ে বড় না অতএব এই বাইনারি ট্রি-কে তুমি বাইনারি সার্চ ট্রি বলতে পারবা না। তার মানে বুঝা যাচ্ছে 420 ধারা মোতাবেক যেই রায়টা দিছো সেই ধারাটাই আসলে ঠিক নাই। চলো ধারাটাকে সংশোধন করি!

কয়েক ভাবেই এই চেকটা করা যায়। সেগুলো নিচে পর্যায়ক্রমে উল্লেখ করা হল।

An Inefficient Approach: Check subtree of every node

আগের প্রসেসে প্রতিটা নোডের left ও right child কে চেক করেছিলাম। চেকটা আসলে করতে হবে left subtree ও right subtree নিয়ে। কোনো একটা নোডের left subtree এর সবগুলো নোডের মান ছোট বা সমান কিনা এটা একটু ভিন্ন ভাবে চিন্তা করে বের করা যায়। ধরো রুট 47 এর left subtree এর ক্ষেত্রে চেক করতে চাই। তাহলে আমরা যদি left subtree এর maximum value টা বের করি। এরপর চেক করি এটা 47 এর চেয়ে ছোট কিনা তাহলেই কিন্তু আমরা বুঝে যাব 47 এর বাম পাশের বংশধরদের মধ্যে কেউ এর চেয়ে বড় কিনা। 47 এর left subtree এর maximum value-ই যদি 47 এর চেয়ে ছোট (বা সমান) হয় তাহলে এটা “সন্দেহাতীত ভাবে প্রমাণিত হয় যে বাম সাবট্রিতে 47 এর চেয়ে বড় কোনো মান নাই!” সুন্দর না আইডিয়াটা?

একই ভাবে 47 এর right subtree এর minimum value টা বের করব। এরপর দেখব এই মানটা 47 এর চেয়ে বড় কিনা। আমাদের শর্ত হচ্ছে right subtree এর মানগুলো অবশ্যই 47 এর চেয়ে বড় হতে হবে। তো, right subtree এর minimum value-টাই যদি 47 এর চেয়ে বড় হয় এর মানে বাকি সবগুলো মান অবশ্যই 47 এর চেয়ে বড়।

যদি এই দুইটা শর্ত প্রতিটা নোডের ক্ষেত্রেই সত্য হয় তাহলে ট্রিকে BST বলা যাবে।

Source Code

শর্তগুলো একটু উল্টিয়ে চেক করা হচ্ছে এই কোডে। আমাদের দরকার বামের সাবট্রি এর সর্বোচ্চ মান নোডের মানের চেয়ে ছোট কিনা। ৫ নাম্বার লাইনে চেক করছি সর্বোচ্চ মানটা নোডের মানের চেয়ে বড় কিনা। যদি বড় হয় তার মানে কিন্তু এটা BST না। তাই return 0; করা হয়েছে। ৭ নাম্বার লাইনে চেক করা হচ্ছে ডানের সাবট্রি এর সর্বনিম্ন মান নোডের মানের চেয়ে ছোট কিনা। যদি ছোট হয় তার মানে এটা বিএসটি এর শর্ত পূরণ করছে না। এক্ষেত্রেও return করা হচ্ছে 0. ৫ ও ৭ নাম্বার লাইনের মাধ্যমে চেক করা হচ্ছে এই নোডটা যেই সাবট্রি এর রুট হিসাবে কাজ করছে সেটা BST কিনা। একই ভাবে এই সাবট্রি এর অন্যান্য নোডের ক্ষেত্রেও চেক করতে হবে যে প্রতিটা নোড যেই সাবট্রি এর রুট সেই সাবট্রিটা BST কিনা। তাই ৯ নাম্বার লাইনে রিকার্সিভ কল করা হচ্ছে। এখানেও উল্টিয়ে চেক করা হচ্ছে। তাই IF এর মান সত্য হলে রিটার্ন করবে 0. উপরের ৩ টা IF এর যে কোনো একটা সত্য হলে ফাংশনটা 0 রিটার্ন করে দিবে। অর্থাৎ এই ফাংশনের কাজ শেষ। আমরা সিদ্ধান্ত নিয়ে নিব যে এটা BST না। কিন্তু ৩ টা IF-ই মিথ্যা হলে ১২ নাম্বার লাইনে রিটার্ন করবে 1.

Complexity: এভাবে প্রতিটা নোডের জন্য তাদের সাবট্রি দুইটি চেক করা হবে। তাই এই প্রসেসটা খুব একটা efficient না। এই অ্যালগরিদমের time complexity হচ্ছে O(n2). এখানে n হচ্ছে নোডের সংখ্যা। অর্থাৎ ১০ টা নোড বিশিষ্ট একটা বাইনারি ট্রি এর ক্ষেত্রে ১০০ টা iteration দরকার হবে।

An efficient way to check if a Binary Tree is BST or Not: Checking with range

উপরের পদ্ধতিতে আমরা চিন্তা করছিলাম প্রতিটা নোডের বাচ্চাকাচ্চাদের নিয়ে। এই পদ্ধতিতে বাচ্চাকাচ্চা নিয়ে কাজ করব না। প্রতিটা নোডের parent নিয়ে কাজ করব। নিচের ছবিটা দেখোঃ

Is it a BST or not?

প্রতিটা নোডের উপরে লিখে দেয়া আছে ঐ নোডের lower limit ও upper limit. অর্থাৎ ট্রি টি বাইনারি সার্চ ট্রি হতে হলে নোডের মানগুলো হতে হবে এই লিমিটের মধ্যে। যদি প্রতিটা নোড তার parent, grand parent-দের সাথে সম্পর্কিত এই রেঞ্জের মধ্যে (exclusively) থাকে তাহলে এটা হবে Binary Search Tree. শুরুতে root 47 নিয়ে কাজ করব। এর কোনো parent নাই তাই এর মানের কোনো নির্দিষ্ট রেঞ্জ নাই। এজন্য এর লিমিট দেয়া হয়েছে minus infinity থেকে plus infinity পর্যন্ত। অর্থাৎ যত ছোট হোক বা যতই বড় হোক root node সর্বদা valid.

এরপর যাই root এর left child 40 এর কাছে। 40 যেহেতু 47 এর left child তাই একে অবশ্যই 47 এর চেয়ে ছোট হতে হবে (বুঝার সুবিধার জন্য মনে করো এই ট্রিতে কোনো duplicate value নাই। এতে করে left child অবশ্যই ছোট হবে। সমান হবে না)। 40 এর জন্য কিন্তু শর্ত একটাই, তা হচ্ছে 47 এর চেয়ে ছোট হতে হবে। কত ছোট হতে পারবে? এটার কিন্তু কোনো লিমিট নাই। মানে minus infinity থেকে 47 এর মধ্যের যে কোনো মানই হতে পারে। কিন্তু 47 এর left child এ এসে যদি 47 এর চেয়ে বড় মান পাওয়া যায় তাহলে সিদ্ধান্ত নিতে পারব যে এটা BST নয়।

এরপর ধরো 40 এর right child 43 এর কাছে গেলাম। যেহেতু right child তাই অবশ্যই একে 40 এর চেয়ে বড় হতে হবে। তাই এই চাইল্ডের lower limit হচ্ছে 40. তাহলে এর upper limit কত হবে? যত বড় ইচ্ছা সংখ্যা এই নোডে বসালেও এটা BST থাকবে? 43 না থেকে এখানে যদি 100 বসাই তাহলে কী সমস্যা হত? 100 বসালে সেটা আমাদের রুট 47 এর চেয়ে বড় হয়ে যাচ্ছে। আমরা কাজ করছি রুটের left subtree তে। এপাশে তো রুটের চেয়ে বড় মান নেয়া যাবে না। তাই 43 এর upper limit হবে তার parent এর upper limit 47.

বাকি নোডগুলোর লিমিট নিজে নিজে হিসাব করো। মনে রাখার জন্য এভাবে চিন্তা করতে পারো যেঃ

  • কোনো parent নোডের right child এর lower limit এর মান হবে parent এর মান। আর upper limit হবে parent এর upper limit এর মান।
  • কোনো parent নোডের left child এর lower limit হবে parent এর lower limit এর মান। আর upper limit হবে parent এর মান।

এই সিসটেমে যখন পুরো ট্রিটা ট্রাভার্স করে right subtree এর 59 এ পৌঁছাবে তখন দেখা যাবে 59 তার lower limit এর চেয়ে ছোট হয়ে গেছে। এই নোডের রেঞ্জ হচ্ছে 62 ও 72 এর মাঝের যে কোনো নাম্বার। কিন্তু নোডে আছে 59. পুরো ট্রি এর সকল নোডই রেঞ্জের মধ্যে আছে শুধু এটা ছাড়া। সুতরাং এটা বাইনারি সার্চ ট্রি নয়।

Source Code

এত্ত এত্ত কাজ হচ্ছে কিন্তু দেখো কোডটা কত্ত ছোট্ট আর নিষ্পাপ! Minimum হচ্ছে সংশ্লিষ্ট নোডের lower limit এবং maximum হচ্ছে upper limit. প্রথমে কল করার সময় প্যারামিটারে Tree এর রুটের অ্যাড্রেস পাঠাতে হবে। সাথে পাঠাতে হবে একটা অনেক ছোট মান আর অনেক বড় একটা মান। তোমার ট্রিতে যেই রেঞ্জের মান নিয়ে কাজ করা লাগতে পারে এই দুটি মান হবে সেই রেঞ্জের চেয়ে ছোট ও বড়। যদি তোমাকে বলে দেয় তোমার ট্রিতে সব সময় ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মান থাকবে। তাহলে minimum হিসেবে 0 আর maximum হিসাবে 101 পাঠাতে পার।

৫ নাম্বার লাইনে চেক করা হচ্ছে নোডের number টা minimum এর চেয়ে বড় বা সমান কিনা। ছবিতে সমান কিনা সেটা হ্যান্ডেল করা হয় নাই। কিন্তু এই কোড duplicate node থাকলে সেটাকেও handle করতে পারবে। একই সাথে চেক হচ্ছে number টা maximum এর চেয়ে ছোট কিনা। এই দুইটা শর্ত সত্য হবার অর্থ হচ্ছে নোডের মানটা নির্দিষ্ট রেঞ্জের মধ্যে আছে। এরপর এই নোডের left child ও right child এর জন্য একই ফাংশন কল করা হচ্ছে। এভাবে পুরো ট্রিটা ঘুরে আসার সময় প্রতিবার ফাংশন কলেই যদি IF এর শর্তগুলো সত্য হয় তাহলে main function এর কাছে 1 রিটার্ন হবে। আর কোনো একটা শর্ত মিথ্যা হলে হলে ১০ নাম্বার লাইনের 0 রিটার্ন করবে। main function থেকে তোমাকে চেক করতে হবে রিটার্ন করা মানটা 0 নাকি 1. এর উপর ভিত্তি করে আউটপুট দেখাতে পারো বা পরবর্তী প্রসেস চালাতে পারো।

Complexity: পুরো ট্রি ট্রাভার্স করার টাইম কমপ্লেক্সিটিই এই অ্যালগরিদমের টাইম কমপ্লেক্সিটি। অর্থাৎ O(n). যে কটি নোড থাকবে ততটি iteration প্রয়োজন হবে। যা আগের পদ্ধতির চেয়ে অনেক ভাল। এই অ্যালগরিদমের ক্ষেত্রে প্রতিটা নোডে একবারই ভিজিট করতে হচ্ছে। কিন্তু আগের পদ্ধতিতে 44 এর কথা চিন্তা কর। রুট যখন left subtree এর জন্য কল দিয়েছে তখন থেকে 44 ভিজিট হচ্ছে। এর parent, grand parent সবার জন্যেই 44 কে ভিজিট করতে হয়েছে। তাই টাইম কমপ্লেক্সিটি ছিল বেশি।

Another Approach to check BST: In-order Traversal of Tree

আগের পর্বে Tree traversal এর তিনটা পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। সেখানে একটা পদ্ধতি ছিল In-order traversal. এই নতুন অ্যাপ্রোচের ক্ষেত্রে এই পদ্ধতির ট্রাভার্সালটা দরকার হবে।

আগের পর্বগুলো পড়ে প্র্যাক্টিস করে থাকলে in-order traversal তুমি জানো। পোস্টের উদাহরণে দেখিয়েছিলাম নোডগুলোতে ট্রাভার্স করে মান প্রিন্ট করে দিতে। এখন তোমাকে প্রিন্ট করতে হবে না। তোমাকে যেটা করতে হবে তা হচ্ছে in-order basis এ ট্রাভার্স করে মানগুলো একটা array তে ঢুকিয়ে দেয়া। সবগুলো নোডের মান অ্যারেতে ঢোকানো শেষ হলে চেক করবা এই অ্যারেটা ascending order এ sorted আছে কিনা। যদি এটা সর্টেড থাকে তাহলে এটা একটা BST অন্যথায় BST নয়!

এটার কোড তুমি নিজেই করতে পারবা। তাই আর দেখাচ্ছি না।

Complexity: ট্রাভার্স করার জন্য time complexity হচ্ছে O(n). আর অ্যারেতে সেভ করার জন্য extra space complexity O(n). Array sorted কিনা সেটা চেক করার জন্য লুপ ঘুরাতে হবে। সেখানেও time complexity O(n).

এই অ্যালগরিদমের কমপ্লেক্সিটি আরো কমানো যায়। নিচের ফাংশনটা দেখঃ

Main function থেকে যখন একে কল করা হবে তখন প্যারামিটার হিসাবে পাঠাতে হবে ট্রি এর রুট আর একটা অনেক ছোট মান (যেটা ট্রিতে স্বাভাবিক ভাবে থাকার কথা না)। কোডটা দেখো, সোজা-সাপটা In-order traversal হয়েছে। previous ভ্যারিয়েবলে নোডের মানটা স্টোর করা হচ্ছে যা পরের রিকার্সিভ কলে পাঠানো হচ্ছে। যদি পুরো ট্রি ট্রাভার্স করতে গিয়ে কোনো একটা নোডের মান previous এর চেয়ে ছোট হয়ে যায় তাহলে ৯ নাম্বার লাইনের মাধ্যমে 0 রিটার্ন করবে। অন্যথায় finally main function এর কাছে 1 রিটার্ন করা হবে।
ফলে আলাদা ভাবে অ্যারে নিয়ে কাজ করার খরচ বেঁচে গেল। টাইম কমপ্লেক্সিটি দাঁড়ালো O(n). আর রিকার্সিভ কলের stack এর জন্য স্বাভাবিক ভাবেই space complexity O(n).

পুরো কোডটা পাওয়া যাবে গিটহাব রিপোজিটরিতে

কোথাও কোনো অসঙ্গতি বা আরো অপটিমাইজেশনের আইডিয়া থাকলে কমেন্টে জানানোর অনুরোধ রইল। ধন্যবাদ এত্তবড় পোস্টটা কষ্ট করে পড়ার জন্য।

3 thoughts on “ট্রি ডেটা স্ট্রাকচার – ৭ [Checking: Is it a BST or Not?]

  1. (root->number>= minimum && root->number < maximum)
    ৫ নাম্বার লাইনে চেক করা হচ্ছে নোডের number টা minimum এর চেয়ে ছোট বা সমান কিনা।
    I think you wanted to write "বড়" বা সমান কিনা.

  2. ধন্যবাদ আপনাকে। এতো সহজ সুন্দর করে টিউটোরিয়ালগুলো লিখার জন্য। অনেক কিছু শিখতে পেরেছি।

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *